平面上点线构型中的网格

著名的 Szemerédi-Trotter 定理指出，平面上任意 $n$ 个点与 $n$ 条线的构型确定 $O(n^{4/3})$ 个关联，且该界是紧的。在本文中，我们证明以下关于点线关联的图兰型结果。令 $\mathcal{L}_1$ 与 $\mathcal{L}_2$ 为平面上两组各含 $t$ 条线的集合，令 $P=\{\ell_1 \cap \ell_2 : \ell_1 \in \mathcal{L}_1, \ell_2 \in \mathcal{L}_2\}$ 为 $\mathcal{L}_1$ 与 $\mathcal{L}_2$ 之间的交点集合。若 $|P| =t^2$，且对 $i = 1,2$，$conv(P)$ 不包含 $\mathcal{L}_i$ 中某两条线的交点，则称 $(P, \mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2)$ 构成一个\emph{自然 $t\times t$ 网格}。对固定的 $t > 1$，我们证明平面上任意不包含自然 $t\times t$ 网格的 $n$ 个点与 $n$ 条线的构型确定 $O(n^{\frac{4}{3}- \varepsilon})$ 个关联，其中 $\varepsilon = \varepsilon(t)$。我们还给出了平面上 $n$ 个点与 $n$ 条线不包含自然 $2 \times 2$ 网格且确定至少 $\Omega({n^{1+\frac{1}{14}}})$ 个关联的构造。