一般位置下的富线集

给定 $\mathbb{R}^2$ 中的 $n$ 个点集，Szemer\'edi-Trotter 定理确立了至少与其中 $k > 1$ 个点关联的直线数量为 $O(n^2/k^3 + n/k)$。J. Solymosi 猜想，如果要求这些点呈网格状排列，且直线处于一般位置（即无两线平行，无三线共点），则可以得到更紧致的界。我们证明：对于任意 $\epsilon > 0$，存在某个 $\delta > 0$，使得对于足够大的 $n$ 值，任何处于一般位置的直线集，若其中每条直线与 $n \times n$ 点格的交点数至少为 $n^{1-\delta}$，则该直线集的大小至多为 $n^\epsilon$。