关于真正高维集合中富集线的数量

我们证明了在点 $v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{C}^d$ 的“真正”$d$ 维构型中，$r$-富集线（包含至少 $r$ 个点的直线）数量的一个新上界。更形式化地，我们表明如果 $r$-富集线的数量显著大于 $n^2/r^d$，则必然存在一个包含在超平面中的大点子集。我们猜想因子 $r^d$ 可以被紧致的 $r^{d+1}$ 替代。若成立，这将推广经典的 Szemer\'edi-Trotter 定理，后者给出了平面构型中 $r$-富集线数量的 $n^2/r^3$ 界。Guth 和 Katz 的开创性工作 \cite{GK10} 已证明该猜想在 $\mathbb{R}^3$ 中成立，最近也在 $\mathbb{R}^4$ 中得到了证明（在某些附加限制下）\cite{SS14}。对于等差数列（$r$ 个共线且等距的点）这一特殊情况，我们给出了一个在低阶项内紧致的界，表明 $d$ 维网格实现了最大数量的 $r$ 项 progression。证明的主要要素是一种寻找在许多富集线上消失的低次多项式的新方法。与多项式方法之前的应用不同，我们不是通过插值找到该多项式。最初的观察是，$r-2$ 次 Veronese 嵌入将 $r$ 个共线点映射为 $r$ 个线性相关的像。因此，每共线的 $r$ 元组点都给我们提供了一个相关的 $r$ 元组像。随后，我们利用 \cite{BDWY12} 的设计矩阵方法将这些“局部”线性依赖性转化为全局依赖性，表明所有像都位于一个超平面内。这进而转化为在原点集上消失的低次多项式。