关于三维空间中受限直线集上的富点与关联

设 $L$ 为 $R^3$ 中 $n$ 条直线的集合，当表示为 $R^3$ 中直线四维 Plücker 空间的点时，其包含于一个常次数且关于 $L$ \emph{非退化}（见下）的不可约簇 $T$ 中。我们证明：\medskip \noindent{\bf (1)} 若 $T$ 为二维，则 $r$-富点（与 $L$ 中至少 $r$ 条直线关联的点）数为 $O(n^{4/3+\epsilon}/r^2)$，其中 $r \ge 3$ 且任意 $\epsilon>0$；且若 $L$ 中至多 $n^{1/3}$ 条直线位于同一二次直纹面上，则 $2$-富点至多 $O(n^{4/3+\epsilon})$。当 $r$ 大于某充分大常数时，$r$-富点数亦为 $O(n/r)$。作为应用，我们（在指数上以 $\epsilon$ 损失）推导出 Pach 与 de Zeeuw（2017）关于平面上常次数不可约代数曲线（非直线亦非圆）上 $n$ 点所确定不同距离数的界。\medskip \noindent{\bf (2)} 若 $T$ 为二维，则 $L$ 与 $R^3$ 中 $m$ 点集的关联数为 $O(m+n)$。\medskip \noindent{\bf (3)} 若 $T$ 为三维且非线性，则 $L$ 与 $R^3$ 中 $m$ 点集的关联数为 $O\left(m^{3/5}n^{3/5} + (m^{11/15}n^{2/5} + m^{1/3}n^{2/3})s^{1/3} + m + n \right)$，前提是任一平面不含多于 $s$ 个点。当 $s = O(\min\{n^{3/5}/m^{2/5}, m^{1/2}\})$ 时，界变为 $O(m^{3/5}n^{3/5}+m+n)$。作为应用，我们证明含于二次超曲面（不含超平面）的 $R^4$ 中 $m$ 点与 $n$ 直线的关联数为 $O(m^{3/5}n^{3/5} + m + n)$。证明除用到代数几何各类工具外，还用了平面上点与代数曲线关联数的近期界。