三维空间中点-曲面关联数的一个改进界

我们证明，在满足适当非退化条件的 $\mathbb{R}^3$ 中，$m$ 个点与 $n$ 个有界次数的光滑代数曲面，若对某个 $k\geq 3$，任意 $k$ 个点至多有 O(1) 个曲面同时经过它们，则它们之间的关联数至多为 $O(m^{\frac{2k}{3k-1}}n^{\frac{3k-3}{3k-1}}+m+n)$。当曲面为球面且任意三个球面不交于同一圆时，这意味着点-球面关联数为 $O((mn)^{3/4} + m +n)$。这比先前包含一个（显式的）极缓慢增长函数 $\beta(m,n)$ 的界 $O((mn)^{3/4} \beta(m,n)+ m +n)$ 略有改进。我们通过使用离散多项式火腿三明治定理将 $\mathbb{R}^3$ 分割成适应于点集的开放胞腔来得到此界，并在分解的每个胞腔内应用图兰型定理以获得对点-曲面关联数的粗略控制。然后，我们对由第一次分解定义的代数簇的不可约分量执行第二次多项式火腿三明治分解。作为一个应用，我们得到了 $\mathbb{R}^3$ 中 $m$ 个点间单位距离最大数目的一个新界。