平面点线构型中具有大围长的构造

Erd\H{o}s 以及后来 Bondy 和 Simonivits 的一个经典结果表明，每个无长度为 $2k$ 的圈的 $n$ 顶点图至多具有 $O(n^{1+1 /k})$ 条边。当 $k \in \{2,3,5\}$ 时该界已知是紧的，但判定该界是否对所有 $k$ 都紧是极值图论中的一个主要开放问题。在本文中，我们研究在平面点线构型的关联图中禁止短偶圈的影响。尚不清楚上述 Erd\H{o}s 上界在此几何设定中是否能改进为 $o(n^{1+1/k})$，而在本注记中，我们通过修改有限几何中已知的构造为此问题建立了非平凡下界。特别地，通过修改 Labeznik 和 Ustimenko 的一个构造，我们构造了平面中 $n$ 个点和 $n$ 条线的构型，使得它们的关联图围长至少为 $k + 5$，并确定至少 $\Omega({n^{1+\frac{4}{k^2+6k-3}}})$ 个关联。我们也将相同技术应用于 Wenger 图，对 $k=5$ 给出了更好的下界。