稠密 $k$ 交叉曲线排列中的极端结构

设 $P$ 为平面上的 $n$ 个点集合，设 $\mathcal{C}$ 为 $n$ 个简单 $k$ 交叉曲线的集合，即任意两个互异曲线至多相交 $k$ 个点。1998 年 Pach 和 Sharir 的经典定理给出上界 $I(P,\mathcal{C})=O_k(n^{(3k+1)/(2k+1)}$。我们证明，当排除完全的局部 incidences 模式时，该上界可被改进。更准确地说，对于任意固定整数 $s>k+1\ge 2$，若不存在 $s$ 个点 $P$ 中的点使得它们的每个 $(k+1)$ 元组都包含在 $\mathcal{C}$ 的不同曲线中，则 $I(P,\mathcal{C})=o(n^{(3k+1)/(2k+1)})$。在伪段的情况下，这扩展了 Solymosi 关于稠密点线排列的定理到稠密伪段排列。