关于 Pach 重叠定理的拓扑版本

Pach 证明了任意 $d+1$ 个点集 $Q_1,\dotsc,Q_{d+1} \subset \mathbb{R}^d$ 都包含线性大小的子集 $P_i\subset Q_i$，使得它们张成的所有横截单纯形相交。我们通过一个例子表明，Pach 定理的拓扑扩展对于大小为 $C(\log n)^{1/(d-1)}$ 的子集不成立。我们证明这在维度 $2$ 中对于除 $\mathbb{S}^2$ 外的所有曲面都是紧的。令人惊讶的是，在 Pach 定理的拓扑版本中，$\mathbb{S}^2$ 的最优界为 $(\log n)^{1/2}$ 阶。我们推测，在高维流形中，球面同样具有类似的特殊性。这一结果改进了 Bárány、Meshulam、Nevo 和 Tancer 的工作。