Frankl-Pach 上界对任意均匀度均不紧致

对于任意正整数 $n\ge d+1\ge 3$，在 $[n]$ 上 VC 维至多为 $d$ 的 $(d+1)$-均匀集系的最大规模是多少？1984 年，Frankl 和 Pach 发起了对这个基本问题的研究，并通过优雅的代数证明给出了上界 $\binom{n}{d}$。令人惊讶的是，2007 年 Mubayi 和 Zhao 证明了当 $n$ 足够大且 $d$ 为素数幂时，Frankl-Pach 上界并不紧致。他们还指出其方法要求 $d$ 为素数幂，并呼吁提出新思路以在不对 $n$ 和 $d$ 施加额外假设的情况下改进 Frankl-Pach 上界。在本文中，我们对任意 $d\ge 2$ 且 $n\ge 2d+2$ 的情况给出了改进，证明了长期存在的 Frankl-Pach 上界 $\binom{n}{d}$ 对任意均匀度均不紧致。我们的证明结合了简单而强大的多项式方法与结构分析。