关于 d 元组的 Bollobás 型定理

1965 年，Bollobás 证明了对于 Bollobás 集对系统 $\{(A_i,B_i)\mid i\in[m]\}$，$\sum_{i=1}^m\binom{|A_i|+|B_i|}{A_i}^{-1}$ 的最大值为 1。Hegedűs 和 Frankl 最近将 Bollobás 系统的概念推广到 d 元组，并猜想对于 Bollobás 的 d 元组系统 $\{(A_i^{(1)},\ldots,A_i^{(d)})\mid i\in[m]\}$，$\sum_{i=1}^m\binom{|A_i^{(1)}|+\cdots+|A_i^{(d)}|}{|A_i^{(1)}|,\ldots,|A_i^{(d)}|}^{-1}$ 的最大值也为 1。本文否定了这一猜想，并给出了该和的上界。在 d=3 的情况下，推导出的上界是渐近紧的。此外，我们加强了 Hegedűs 和 Frankl 论文中关于 d 元组斜 Bollobás 系统的一个不等式。最后，我们确定了集合和空间上均匀斜 Bollobás d 元组系统的最大尺寸。