加权 skew Bollobás 定理的子空间变动

设 $V$ 为有限维实向量空间。若集合 $\mathcal{P} = \{(A_i,B_i)\}_{i=1}^m$ 满足 $\dim(A_i\cap B_i)=0$ 对每个 $i\in [m]$ 且 $\dim(A_i\cap B_j)>0$ 对所有 $1\leq i<j \leq m$ 成立，则称其为 skew Bollobás 系统。假设 $V = V^{(1)}\oplus \cdots \oplus V^{(r)}$ 且 $\mathcal{P}= \{(A_i,B_i)\}_{i=1}^m$ 为 $V$ 的 skew Bollobás 子空间系统，满足对每个 $i\in [m]$ 有 $A_i = \bigoplus_{k=1}^r (A_i \cap V^{(k)})$ 和 $B_i = \bigoplus_{k=1}^r (B_i \cap V^{(k)})$。记 $a_{i,k} = \dim(A_i \cap V^{(k)})$ 和 $b_{i,k} = \dim(B_i \cap V^{(k)})$。若对每个 $k\in [r]$ 有 $a_{1,k} \le \cdots \le a_{m,k}$ 和 $b_{1,k} \ge \cdots \ge b_{m,k}$，则利用 Lovász 和 Scott--Wilmer 所发展的外代数方法，我们证明 $$\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{\prod_{k=1}^{r} \binom{a_{i,k}+b_{i,k}}{a_{i,k}}} \le 1 .$$ 这推广了 Alon (JCTA, 1985) 和 Scott--Wilmer (JLMS, 2021) 的结果至多部分加权情形。其次，我们解答了 Heged"us (AJC, 2015) 中关于射影子空间的猜想，证明任何 $n$ 维射影空间中的 skew Bollobás 系统至多包含 $2^{n+1} - 2$ 对。最后，我们证明若 $\mathcal{P}= \{(A_i,B_i)\}_{i=1}^m$ 为 $V$ 的 skew Bollobás 子空间系统，且 $a_i=\dim (A_i)$，$b_i=\dim (B_i)$，则 $$\sum_{i=1}^m \frac{1}{(a_i+ b_i+1)\binom{a_i+b_i}{a_i}} \le 1.$$ 这给出了 Heged"us--Frankl (EUJC, 2024) 和 Yue (DM, 2026) 结果在子空间情形下的推广。最后，我们将上述不等式推广至 $d$ 元子空间系统，给出统一的上界，可暗示 $d$ 元子集的相应结果。