平衡子集的同伦类型

对于欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中的有限点集 $V=\{v_1, \dots, v_m\}$ 和一点 $r \in \mathbb{R}^d$，子集 $S \subset V$ 称为 $r$-平衡的，如果 $\mathrm{relint}(\mathrm{conv}(S)) \cap r \neq \emptyset$。当 $r$ 位于整个集合 $\mathrm{conv}(V)$ 的相对内部时，我们证明所有平衡子集构成的偏序集（排除全集 $V$）同伦等价于维数为 $m-k-2$ 的球面，其中 $k$ 是 $V$ 的仿射包的维数。