平面中点的平衡构型

球面上$S^2$的平衡构型是指这样一组（有限）点：若它们依据仅依赖于两点间距离的任意力律相互作用，则处于平衡状态。若对构型$\mathcal{C}$中每一点，都存在$\mathcal{C}$的一个对称仅固定该点及其对径点，则该构型进一步称为群平衡的。Leech通过对所有可能平衡构型的分类，证明了这些定义在$S^2$上等价。另一方面，Cohn、Elkies、Kumar与Schürmann证明，对$n\geq 7$，在$S^{n-1}$中存在平衡但非群平衡的构型实例。他们还建议将平衡构型的概念推广到欧氏空间，并猜想至少在平面的情形，$\mathbb{R}^n$中所有离散平衡构型都是群平衡的。我们通过给出$\mathbb{R}^2$中满足某最小距离性质的平衡构型的完整分类，验证了该猜想的一个重构表述。