与系统方程相关的欧几里得平面中的配置

在欧几里得平面 ${\bf{E}}^2$ 中，固定四个两两不同的点 \begin{equation*} \label{eqA} \begin{array}{ccc} A=(a_1,a_2),\ B=(b_1,b_2),\ C=(c_1,c_2),\ D=(d_1,d_2), \end{array} \end{equation*} 以及四个非零实数 $k_A,k_B,k_C,k_D$。我们证明，由以下四个关于未知数 $X=(x_1,x_2)$ 和 $Y=(y_1,y_2)$ 的方程组成的系统 (*) \begin{equation*} \label{egy} \frac{1}{\|X-T\|^2} +\frac{1}{\|Y-T\|^2}=k_T, \quad T\in\{A,B,C,D\} \end{equation*} 在满足以下两个条件时仅有有限个解 $(X,Y)$（计入复数坐标）：$(i)$ 四个固定点 $A,B,C,D$ 中任意三点不共线；$(ii)$ 四个半径为 $1/\sqrt{k_T}$ 且心为 $T$ 的圆在 ${\bf{E}}^2$ 中无公共点。此外，我们展示了一个配置 $ABCD$，说明在满足 $(i)$ 和 $(ii)$ 时，系统 (*) 可能具有多个实解 $(X,Y)$。该结果是类似于近期论文 \cite{cif} 和 \cite{ak2024} 中所研究的遗传学应用中所涉及的欧几里得空间中的类问题的平面版本。