与部分相位数据 3D 基因组重建问题相关的欧几里得空间构型

研究以下问题的动机来自生物学应用；见\cite{cifuentes20233d}。在$3$维欧几里得空间${\bf{E}}^3$中，固定六个两两不同的点 \begin{equation*} \label{eqA} \begin{array}{ccc} A=(a_1,a_2,a_3), & B=(b_1,b_2,b_3), & C=(c_1,c_2,c_3), \\ D=(d_1,d_2,d_3), & E=(e_1,e_2,e_3), & F=(f_1,f_2,f_3) \end{array} \end{equation*} 以及${\bf{E}}^3$中的另外两个点$X^*=(x_1^*,x_2^*,x_3^*)$和$Y^*=(y_1^*,y_2^*,y_3^*)$。我们的目标是证明由以下六个关于未知数$X=(x_1,x_2,x_3)$和$Y=(y_1,y_2,y_3)$的方程组成的系统$(*)$ \begin{equation} \label{egy} \frac{1}{\|X-T\|^2} +\frac{1}{\|Y-T\|^2}=\frac{1}{\|X^*-T\|^2} +\frac{1}{\|Y^*-T\|^2}, \quad T\in\{A,B,\ldots,F\}. \end{equation} 在满足以下两个条件时只有有限个解：(i) 固定点$A,B,C,D,E,F$中任意四点不共面；(ii) 六个球心为$T$、半径为$1/\sqrt{k_T}$的球面中任意四个在${\bf{E}}^3$中没有公共点，其中 \begin{equation} \label{kxy} k_T=\frac{1}{\|X^*-T\|^2} +\frac{1}{\|Y^*-T\|^2} \end{equation} 此外，我们展示了构型$ABCDEFX^*Y^*$，表明条件 (i) 也是必要的。这一结果改进了\cite[Theorem 1]{cifuentes20233d}，后者仅在点$A,B,\ldots,F,X^*,Y^*$的选择足够通用时才能保证系统$(*)$解的有限性。我们还证明了，如果系统$(*)$只有有限个解，且将系统$(*)$扩展为$T\in\{A,B,\ldots,F,G\}$后存在除$(X^*,Y^*)$和$(Y^*,X^*)$以外的解，则$G$位于一个显式给出的仿射簇$W\subsetneqq \mathbb{R}^3$上，该簇仅依赖于$\{A,B,\ldots,F\}$。这一结果证明了\cite[Conjecture 1]{cifuentes20233d}。