关于确定形状的线排列与斜率数量的一些开放问题

欧几里得平面中的直线集 $L$ 与点集 $P$ 定义构造线与登记标记的排列 $\mathcal{A}$ = ($L$, $P$)，当且仅当：(1) $P$ 中任一点为 $L$ 中至少两条直线的交点，且 (2) $L$ 中任意两条非平行直线在 $P$ 中有唯一交点。这篇综述性文章讨论了关于此类点线排列的以下开放问题。设给定平面中 $k \geq 0$ 个点。这 $k$ 个点必须确定多少条构造线？由 $k$ 个点所确定的构造线定义了多少个不同的斜率或方向？有多少个不同的构造线集划分平面，使得这些直线恰好交于 $k$ 个点？本文报道了针对小数值 $k$ 的经验证据，对这三个问题给出了部分解答。在考察了关联几何中关于有限线性空间的相关问题后，还针对第一个关于构造线数量的问题提出了一个猜想。本文丰富了形状文法理论领域中与形状数学相关的研究成果。