平面上三色几何点集的平衡划分

设 $S$ 为被划分为类或 \emph{颜色} 的几何对象的有限集。子集 $S'\subseteq S$ 被称为 \emph{平衡的}，如果 $S'$ 包含来自每种颜色的 $S$ 中相同数量的元素。我们研究了将平面上的三色点集和线集划分为两个平衡子集的若干问题：(a) 我们证明，对于任意三色直线排列，存在一条线段恰好与每种颜色的直线各相交一次；并且当每种颜色有 $2m$ 条直线时，存在一条线段与每种颜色的 $m$ 条直线相交。(b) 给定任意闭 Jordan 曲线 $\gamma$ 上的 $n$ 个红点、$n$ 个蓝点和 $n$ 个绿点，我们证明对于满足 $0 \leq k \leq n$ 的任意整数 $k$，在 $\gamma$ 上存在一对不相交的区间，其并集恰好包含每种颜色的 $k$ 个点。(c) 给定整数格中满足特定约束的 $n$ 个红点、$n$ 个蓝点和 $n$ 个绿点组成的集合 $S$，存在两条共顶点的射线，一条垂直一条水平，其并集将平面划分为两个区域，每个区域包含 $S$ 的一个平衡子集。