双色点集的 Garment 数

我们考虑的是关于 $k$ 边形和空 $k$ 边形的几何-组合问题的彩色变体，这些问题始于 1935 年的 Erd\H{o}s 和 Szekeres。在我们所考虑的情形中，我们在平面上有 $n$ 个互不共线的点，每个点要么是红色，要么是蓝色。一种结构由 $k$ 个点构成，其边由这些点（的一些）连接而成，若所有 $k$ 个点颜色相同，则称为单色结构。对于 $k=4$，仍存在有趣的开放问题。最突出的是，对于任意足够大的双色集合，是否总存在一个凸的、空的、单色四边形。为了更好地理解其几何性质，我们研究了是否存在五种不同的单色结构，这些结构都恰好使用双色点集中的 4 个点。我们提供了若干改进的下界和上界，以确定最小的 $n$ 使得每个包含至少 $n$ 个点的双色集合都包含（其中的一些）这些单色结构。