着色点集的近等分

假设平面上有 $nk$ 个处于一般位置的点被染成红色和蓝色，每种颜色至少 $n$ 个点。我们证明此时存在 $n$ 个两两不交的凸集，每个凸集包含 $k$ 个点，且每个凸集包含两种颜色的点。我们还证明，若 $P$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中 $n(d+1)$ 个处于一般位置的点组成的集合，用 $d$ 种颜色着色，每种颜色至少 $n$ 个点，则存在 $n$ 个顶点在 $P$ 中的两两不交的 $d$ 维单形，每个单形包含每种颜色的一个点。这些结果可视为朝若干个先前已知的关于着色点集的几何划分结果的统一推广迈出的一步。