多色 Motzkin-Rabin 定理的一个定量变体

我们证明了多色 Motzkin-Rabin 定理的一个定量版本，其精神契合 [BDWY12]：设 $V_1,\ldots,V_n \subset R^d$ 为 $n$ 个不相交的点数集（即 $n$ 种‘颜色’）。假设对于每个 $V_i$ 和每个点 $v \in V_i$，至少存在 $\delta |V_i|$ 个其他点 $u \in V_i$，使得连接 $v$ 和 $u$ 的直线包含另一个颜色的第三个点。那么，所有 $n$ 个集合中点的并集包含在一个维数仅由 $n$ 和 $\delta$ 的函数所界定的子空间中。