有理数中的单色商、积与多项式和

设 $k,a\in \mathbb{N}$ 且 $p_1,\cdots,p_k\in \mathbb{Q}[n]$ 具有零常数项。我们证明，对于 $\mathbb{Q}$ 的任意有限着色，存在非零的 $x,y\in \mathbb{Q}$ 使得存在一种颜色包含形如 $$\Big\{x,\frac{x}{y^a},x+p_{1}(y),\cdots,x+p_{k}(y)\Big\}$$ 的集合，并且存在非零的 $v,u\in \mathbb{Q}$ 使得存在一种颜色包含形如 $$\Big\{v,v\cdot {u^a},v+p_{1}(u),\cdots,v+p_{k}(u)\Big\}$$ 的集合。