着色点集的凸等分

我们证明了 $\mathbb{R}^d$ 中处于一般位置的任意 $d$ 着色点集可以被划分为 $n$ 个具有不相交凸包的子集，使得该点集与所有颜色类尽可能均匀地划分。这推广了 Holmsen、Kyn\v{c}l 和 Valculescu (2017) 的结果，并建立了他们一般猜想的一个特例。我们的证明利用了 Sober\'on 和 Karasev 在 2010 年独立获得的一个结果，即关于用 $n$ 个凸区域对 $\mathbb{R}^d$ 中 $d$ 个连续测度进行同时等分。这给出了 $\mathbb{R}^d$ 的一个具有所需性质的凸划分，除了点可能位于区域的边界上。为了解决这些点的模糊分配问题，我们建立了一个网络流问题。连续测度的等分给出了一个分数流。然后整数流的存在性产生了所需的点集划分。