关于双色点集粗糙度的新结果

设 $S$ 为平面上 $n$ 个点的 2-着色（红色和蓝色）集合。如果存在一个凸集 $C$ 使得 $I=C\cap S$，则 $S$ 的子集 $I$ 称为一个岛 (island)。一个岛的差异度 (discrepancy) 是其包含的红点数与蓝点数之差的绝对值。$S$ 的凸划分是将 $S$ 划分为具有成对不相交凸包的岛的划分。凸划分的差异度是其差异度最小的岛的差异度。$S$ 的粗糙度 (coarseness) 是具有最大差异度的 $S$ 的凸划分的差异度。这一概念最近由 Bereg 等人 [CGTA 2013] 定义。在本文中，我们研究以下问题：给定平面上一般位置的 $n$ 个点集 $S$，如何对每个点进行着色（红色或蓝色），使得生成的 2-着色点集具有较小的粗糙度？我们证明了任何 $n$ 点集 $S$ 都可以被着色，使其粗糙度为 $O(n^{1/4}\sqrt{\log n})$。这个界几乎是紧的，因为存在某些 $n$ 点集，其任何 2-着色产生的粗糙度至少为 $\Omega(n^{1/4})$。此外，我们展示了一种用于计算 2-着色点集粗糙度的近似算法，其比率介于 $1/128$ 和 $1/64$ 之间，从而解决了 Bereg 等人 [CGTA 2013] 提出的一个开放问题。我们所有的结果都考虑了 $S$ 的 $k$-可分岛，对于某个 $k$，这些岛是通过 $S$ 与至多 $k$ 个半平面相交而产生的。