棋盘上针的偏差，II

将平面视为一个棋盘，每个单位正方形以任意方式被涂成黑色或白色。在先前的论文中我们证明了，对于任何这样的着色，总存在任意大长度的直线段，使得其白色长度减去黑色长度的差值的绝对值，在相差一个乘性常数的意义下，至少为其长度的平方根。对于相应的“有限”问题（$N \times N$ 棋盘），我们曾证明可以对其进行着色，使得对于线段的任何放置，上述量至多为 $C \sqrt{N \log N}$。在这篇后续文章中，我们证明可以用两种颜色对无限棋盘进行着色，使得对于任何线段 $I$，一种颜色相对于另一种颜色的超出量以 $C_\epsilon \Abs{I}^{\frac12+\epsilon}$ 为上界，其中 $\epsilon>0$。我们还证明了圆弧偏差的下界。最后，我们对线段和圆弧的 $L^p$ 偏差（$p<2$）作了一些观察，对于这些情况，我们基于 $L^2$ 的方法无法给出任何合理的估计。