平面内覆盖红蓝点的 $K_{1,3}$ 覆盖

我们说平面内处于一般位置的有限红蓝点集可以被 $K_{1,3}$ 覆盖，如果该集合可以被划分为大小为 $4$ 的子集，每个子集包含 $3$ 个一种颜色的点和 $1$ 个另一种颜色的点，且满足：如果在每个子集中将第四个点用直线段连接到与其同色的点，则所有线段的最终集合没有交叉。我们考虑以下问题：给定平面内处于一般位置的 $r$ 个红点集合 $R$ 和 $b$ 个蓝点集合 $B$，$R\cup B$ 中有多少个点可以被 $K_{1,3}$ 覆盖？我们证明以下结果：(1) 若 $r=3g+h$ 且 $b=3h+g$（对于某些非负整数 $g$ 和 $h$），则存在可以被 $K_{1,3}$ 覆盖的点集 $R\cup B$，例如 $\{1,3\}$-均衡集（即 $r=3b$ 或 $b=3r$）和线性可分集。(2) 若 $r=3g+h$，$b=3h+g$ 且 $R\cup B$ 中的点处于凸位置，则至少 $r+b-4$ 个点可以被 $K_{1,3}$ 覆盖，且该界限是紧的。(3) 存在任意大的处于一般位置的点集 $R\cup B$，满足 $r=b+1$，使得至多 $r+b-5$ 个点可以被 $K_{1,3}$ 覆盖。(4) 若 $b\le r\le 3b$，则 $R\cup B$ 中至少 $\frac{8}{9}(r+b-8)$ 个点可以被 $K_{1,3}$ 覆盖。对于 $r>3b$，红点过多，在任何 $K_{1,3}$ 覆盖中至少有 $r-3b$ 个红点将保持未被覆盖。此外，在所有情况下，我们都提供了计算相应覆盖的高效算法。