完全图的 Clique 覆盖与 piercing 多轨区间

设 $R_1,R_2,\dots,R_t$ 为平面中互不相交的平行线。$t$-区间（或 $t$-轨区间）是可写为由 $t$ 个闭区间组成的集合，其中每个区间位于不同的线上。已知，两两相交的 $2$-区间可由两点 piercing 覆盖（每条线上一点）。然而，对任意由三两相交的 $3$-区间组成的集合，不能用三点（每条线上一点）进行 piercing。对于 $k\ge 3$，Kaiser 和 Rabinovich 询问是否可以用 $t$ 个点（每条线上一点）来 piercing $k$-wise 相交的 $t$-区间。我们的主要结果提供了一个渐近答案：在任意由 $k$-wise 相交 $t$-区间组成的集合 $S_1,\dots,S_n$ 中，至少有 $\frac{k-1}{k+1}n$ 个区间可被 $t$ 个点（每条线上一点）piercing。我们以更一般的形式进行了证明，将区间替换为树的子树。这导致了关于由边彩色的完全图顶点由不同颜色的单色 Clique 顶点覆盖的问题和结果，其中彩色为 chordal 或更一般的诱导 $C_4$-free 图。例如，我们证明，如果完全图 $K_n$ 的边用红蓝两种颜色染色且两种颜色类均为诱导 $C_4$-free，则至少有 ${4n\over 5}$ 个顶点可被一个红色 Clique 和一个蓝色 Clique 覆盖，这是最佳的。我们以指出从这些受限彩色中涌现出新的 Ramsey 类型问题作为结论。