红蓝团划分与(1-1)-横截

受Gallai关于$2$-区间的$(1-1)$-横截问题的启发，作者们在1969年证明：如果将完全图$K$的边用红色和蓝色着色（一条边上可同时出现两种颜色），使得不存在单色诱导$C_4$和$C_5$，则$K$的顶点可划分为一个红团和一个蓝团。Aharoni、Berger、Chudnovsky和Ziani最近加强了这一结论，他们表明只需假设不存在单色诱导$C_4$且其中一种颜色中不存在诱导$C_5$即可。本文进一步加强该结论：只需假设不存在单色诱导$C_4$且不存在两个颜色类均诱导出$C_5$的$K_5$。我们还回答了Kaiser和Rabinovich的一个问题，给出了平面上六个$2$-凸集的实例，其中任意三个相交但不存在它们的$(1-1)$-横截。