牛顿 $n$ 体问题中 $S$-平衡构型的 Morse 理论

对于欧几里得 $d$ 维空间中的牛顿（引力）$n$ 体问题，最简单的可能解由那些刚性运动（齐次解）给出，其中每个天体沿开普勒轨道运动，且 $n$ 体的构型是一个除旋转和缩放外为常数的构型，称为\textit{中心构型}。对于 $d\leq 3$，唯一可能的齐次运动是由中心构型给出的那些。而对于 $d \geq 4$，正如 Albouy 和 Chenciner 所观察到的，由于正交群 $O(d)$ 的更高复杂性，出现了新的可能性。例如，在 $\mathbb R^4$ 中，可以在两个相互正交的平面上以不同的角速度旋转。这产生了引力与离心力之间的新平衡，提供了新型的周期和准周期运动。因此，对于 $d\geq 4$，存在一类更广泛的 $S$-\textit{平衡构型}（包含中心构型）提供 $n$ 体问题的简单解，这也可以通过临界点理论来刻画。在本文中，我们首先对任意 $d\geq 4$ 给出了 $\mathbb R^d$ 中平衡（非中心）构型数量的的下界，并建立了平衡构型的一个 $45^\circ$-定理版本，从而回答了 Moeckel 提出的若干问题。此外，对无碰撞构型球面的 Poincaré 多项式系数的渐近性的仔细研究，将使我们能够推导出关于 $S$-平衡构型计数的一些相当出乎意料的定性结论。在论文的最后部分，我们聚焦于 $d=4$ 的情形，并给出了引力 $n$ 体问题的周期和准周期运动数量的的下界，该下界改进了 McCord 先前的一个著名结果。