柏拉图多面体、拓扑约束与经典 $N$ 体问题的周期解

我们证明了经典牛顿 $N$ 体问题存在若干光滑周期运动 $u_*$，这些运动在重新标记 $N$ 个粒子后，在五个柏拉图多面体之一的旋转群 ${\cal R}$ 下保持不变。粒子数 $N$ 等于 ${\cal R}$ 的阶，且所有粒子质量相同。我们的方法是变分法，$u_*$ 是拉格朗日作用量 ${\cal A}$ 在 $H^1$ 的 $T$ 周期映射 $u:{\bf R}\to {\bf R}^{3N}$ 的合适子集 ${\cal K}$ 上的极小元。集合 ${\cal K}$ 是一个锥，通过施加由旋转群 ${\cal R}$ 定义的拓扑和对称约束来确定。存在无穷多个这样的锥 ${\cal K}$，它们都具有 ${\cal A}|_{\cal K}$ 是强制的性质。对于其中一定数量的锥，利用水平估计和局部形变，我们证明了极小元无碰撞，因此是 $N$ 体问题的经典解，具有丰富的几何-运动学结构。