关于 $\mathbb{R}^4$ 中平面平衡配置的 $n$ 体问题的分叉

中心配置在牛顿 $n$ 体问题中占据基本角色，因为它们产生演化配置的运动，同时保持其形状不变（仅限于旋转和缩放）。这包括相对平衡态，即配置围绕质心 rigidly 旋转，每个物体沿圆形轨道运动。对于 $d\le3$，此类运动仅源自平面中心配置；而在更高维度中，正交群的更复杂结构容许产生新的非平面相对平衡配置。建立在 Asselle、Portaluri 和 Fenucci 引入的框架 [J. Fixed Point Theory App., 2022] 基础上，我们分析 $\mathbb{R}^4$ 中平面平衡配置的分叉。我们将一个经典变分结果推广到平凡临界点分支中情况：该分支在多个点处仍保持退化。应用此推广，我们在平面平衡配置分支上建立分叉点的存在性，并给出其数量的下界。