牛顿 $n$-体问题的谱稳定性、谱流与圆形相对平衡

对于欧几里得 $d$-维空间（$d\ge 2$）中的牛顿（引力）$n$-体问题，最简单的周期解由圆形相对平衡（简称 (RE)）给出，即每个天体绕质心刚性旋转且整个系统的构型不随时间变化并且是中心（或更一般地，平衡）构型的求解。对于 $d\le 3$，唯一可能的 (RE) 是平面的，但在四维中可得到真正的四维 (RE)。天体力学中的一个经典问题旨在将 (RE) 的（不）稳定性性质与其生成中心（或更一般地，平衡）构型的指数性质联系起来。本文中，我们提供充分条件以蕴含由中心构型生成的 $\mathbb R^4$ 中平面与非平面 (RE) 的谱不稳定性，从而回答了 \cite[第 63 页]{Moe14} 中提出的一些问题。作为推论，我们重获 Hu 和 Sun \cite{HS09} 关于平面 (RE) 线性不稳定性的经典结果（其生成中心构型非退化且具有奇 Morse 指数），并修正了 \cite[定理 1]{BJP14} 中关于平面 (RE) 谱不稳定性陈述的漏洞（其（可能退化的）生成中心构型具有奇 Morse 指数）。关键要素是一个具有独立意义的新公式，可计算具有退化起点的对称矩阵路径的谱流，以及沿给定 (RE) 的线性化哈密顿系统相空间的一个辛分解，该分解受 Meyer 和 Schmidt 的平面分解 \cite{MS05} 启发，并使我们能够排除对应于问题的平移和（部分）旋转对称性的无趣动力学部分。