限制 N 体问题椭圆相对平衡的线性稳定性：两种特殊情形

本文考虑限制 $N$-体问题的椭圆相对平衡，其中 $N-1$ 个主天体构成 Euler-Moulton 共线中心构型或 $(1+n)$-边形中心构型。我们得到了一般限制 $N$-体问题的辛约化。对第一种情形，通过分析该限制 $N$-体问题与椭圆 Lagrangian 解之间的关系，利用 $\omega$-Maslov 指标得到了限制 $N$-体问题的线性稳定性。通过数值计算，我们还得到了在 $N=4$ 及中心构型对称性下关于质量参数的稳定性条件。对第二种情形，存在无质量天体的三个位置 $S_1,S_2$ 与 $S_3$（模 $\frac{2\pi}{n}$ 角度的旋转）。当 ${m_0\over m}$ 足够大时，我们证明若偏心率 $0\le e<e_0$ 且无质量天体位于 $S_1$ 或 $S_2$，则椭圆相对平衡线性不稳定；而无质量天体位于 $S_3$ 时，椭圆相对平衡线性稳定。