基于指标理论的平面三体问题椭圆拉格朗日解的线性稳定性

众所周知，经典平面三体问题中拉格朗日椭圆等边三角形同形解的线性稳定性取决于质量参数 $\bb=27(m_1m_2+m_2m_3+m_3m_1)/(m_1+m_2+m_3)^2\in [0,9]$ 和偏心率 $e\in [0,1)$。除了针对极小 $e>0$ 的摄动方法、针对 $e$ 充分接近 1 的爆破技术以及数值研究外，我们尚未知晓任何现有的解析方法能直接在完整矩形区域 $[0,9]\times [0,1)$ 内将这些解的线性稳定性与这两个参数联系起来。本文引入一种新的严格解析方法，利用复平面单位圆上 $\om$ 的辛路径 $\om$-指标理论及线性算子理论，在完整的 $(\bb,e)$ 范围 $[0,9]\times [0,1)$ 内研究这些解的线性稳定性。在确立了固定 $e\in [0,1)$ 时解关于 $\bb$ 的 $\om$-指标递减性质后，我们证明了矩形 $[0,9]\times [0,1)$ 内存在三条从左至右排列的曲线，其中两条为 -1 退化曲线，第三条为 $\om\not=1$ 时 $\om$-退化曲线的右包络线，并表明此类椭圆拉格朗日解的线性稳定性模式当且仅当参数 $(\bb,e)$ 穿过这三条曲线中的每一条时才会发生改变。我们还观察到了这些曲线的有趣对称性。此外，本文还详细分析了偏心率 $e$ 趋近于 1 的奇异情形下的线性稳定性。