Sitnikov问题中某些周期解族的定量稳定性

Sitnikov问题是限制三体问题的特例，其中主星体在偏心率为 $e\in [0,1[$ 的两体问题的椭圆轨道上运动，无质量体在通过它们质心且垂直于主星体运动平面的直线上运动。众所周知，对于圆情形($e=0$)和给定 $N\in \mathbb{N}$，存在有限多个非平凡对称 $2N\pi$ 周期解，如果我们将相应的自治方程视为 $2\pi$ 周期方程，则所有这些解都是抛物型且不稳定(在Lyapunov意义下)。利用Leray-Schauder全局延拓方法，J.Llibre和R.Ortega (J.Llibre $\&$ R. Ortega, 2008)证明了这些周期解族可以从圆情形中已知的 $2N\pi$ 周期解延拓到不一定小的偏心率 $e$ 值，并且在某些情况下可延拓到所有 $e\in \, [0,1[$ 的值。然而这种方法没有说明这些周期解的稳定性性质。在本文中，我们提出了一种新方法，至少在第一近似下量化上述分岔族及其稳定性性质。我们的方法提出两种通用方法：第一种是估计形式为 $$\ddot{x}+a(t,\lambda)x=0,$$ 且 $a\in C^{1}([0,T] \times [0,\Lambda])$ 的单参数微分方程的典范解的增长。第二种给出形式为 $$\ddot{x}+q(t,\lambda)x=0, \quad (\ast)$$ 的单参数Hill方程的稳定性准则，其中 $q(\cdot,\lambda)$ 是 $T$ 周期的且 $q\in C^{3}(\mathbb{R}\times [0,\Lambda])$，使得当 $\lambda=0$ 时方程 $(*)$ 是抛物型的。