限制性三体问题中共振周期运动的线性稳定性分析

限制性三体问题的方程描述了一个无质量粒子在两个质量分别为 $1-\mu$ 和 $\mu$（其中 $0\leq \mu \leq 1/2$）的主天体影响下的运动，这两个主天体以等于 $2\pi$ 的周期相互绕转。当 $\mu=0$ 时，该问题允许无质量粒子以偏心率为 $e$ 的椭圆轨道运动，质量为 1 的主天体位于其中一个焦点上。若周期为 $2\pi$ 的有理倍数，记为 $2\pi p/q$，则其中一些轨道可扰动为 $\mu > 0$ 时的周期运动。对于典型的 $e$ 和 $p/q$ 值，当 $\mu > 0$ 时得到两个共振周期运动。我们证明，在 $\mu\to 0$ 的极限下，这两个运动的特性乘子均由形如 $1\pm\sqrt{C(e,p,q)\mu}+O(\mu)$ 的表达式给出。系数 $C(e,p,q)$ 在 $e=0$ 处对 $e$ 解析，且 $C(e,p,q)=O(e^{\abs{p-q}})$。将 $C(e,p,q)$ 按 $e$ 的幂展开时，两个共振周期运动在 $e^{\abs{p-q}}$ 前的系数之和为零。通常，若两个共振周期运动中一个是椭圆型，则另一个是双曲型。我们对逆行周期运动给出了类似结果，并讨论了与质量为 $1-\mu$ 的主天体近乎碰撞的周期运动。