限制性三体问题中共振附近的稳定流形与同宿点

限制性三体问题描述了一个无质量粒子在两个质量分别为 $1-\mu$ 和 $\mu$、以等于 $2\pi$ 的周期相互绕转的主天体影响下的运动。对于小的 $\mu$，若无质量粒子在旋转坐标系中的周期运动绕较重主天体的周期约为 $2\pi p/q$（其中 $p$ 与 $q$ 为互素整数），且近似偏心率为 $e$，则该运动可称为共振周期运动。我们给出了与这些共振运动相关的稳定流形与不稳定流形的形式展开方法。我们证明了该形式展开的有效性以及共振区域中同宿点的存在性。在小行星带 Kirkwood 空隙的研究中，通常采用限制性三体问题平均化方程的分界线来推导共振边界的解析近似。我们使用未平均方程，找出对于 $q/p$ 等于 2/1、7/3、5/2、3/1 和 4/1 的 Kirkwood 空隙，小行星偏心率低于某值而这些近似不成立的情况。另一个应用是关于外共振中非对称天平动的存在性。我们给出了对于 1/7、1/6、1/5、1/4、1/3 和 1/2 共振，无论 $\mu$ 多小，小行星偏心率低于某值则非对称天平动不存在；但若偏心率超过这些阈值，则在未平均限制性三体问题中对于足够小的 $\mu$ 将存在非对称天平动。