限制性平面三体问题中的柯克伍德空隙与平均运动共振沿扩散

我们研究了限制性平面三体问题在平均运动共振附近的动力学，即涉及绕最重天体运行的两个较轻天体的开普勒周期共振。该问题常用于模拟太阳 - 木星 - 小行星系统。对于主天体（太阳和木星），我们选取了 realistic 的质量比 $\mu=10^{-3}$ 和小偏心率 $e_0>0$。主要结果是构造了多种非局部扩散轨道，这些轨道显示出小行星的瞬时（osculating）偏心率发生剧烈变化，而瞬时半长轴保持几乎不变。证明依赖于对圆形问题的仔细分析，该问题具有双曲结构，但扩散被 KAM 环面所阻止。我们在数值上验证了某些非退化条件。基于 Treschev 的工作，自然可以推测该问题的扩散时间约为 $\sim \frac{-\ln (\mu e_0)}{\mu^{3/2} e_0}$。我们期望我们的不稳定性机制适用于 $e_0$ 的 realistic 值，并给出了支持该机制的启发式论证。如果是这样，Nekhoroshev 理论在三体问题中的适用性以及长期稳定性将受到质疑。众所周知，在位于火星和木星轨道之间的小行星带中，小行星的分布恰好在低阶平均运动共振处呈现出所谓的柯克伍德空隙。我们的机制为这些空隙的存在提供了一种可能的解释。为了将柯克伍德空隙的存在与阿诺德扩散联系起来，我们针对摆与转子的乘积的典型 $\eps$ 扰动提出了一个关于其存在的猜想。具体而言，我们预测集中在主共振中的初始条件的正条件测度会在时间尺度 $\frac{- \ln \eps}{\eps^{2}}$ 上表现出阿诺德扩散。