通过指数理论研究三体型问题中拉格朗日圆轨道的 Morse 指数与线性稳定性

众所周知，经典平面三体问题中拉格朗日椭圆解的线性稳定性取决于质量参数 $\beta$ 和轨道偏心率 $e$。我们仅考虑圆轨道情形 ($e = 0$)，但将其置于更广泛的奇异势族作用下：即 $\alpha \in (0,2)$ 的 $\alpha$-齐次势和对数势。事实上，拉格朗日圆轨道在这一更一般的设定中依然存在。我们发现了一个用齐次性参数 $\alpha$ 和质量参数 $\beta$ 表示的线性稳定性区域，随后计算了该轨道及其迭代的 Morse 指数，并发现稳定性区域的边界是一族曲线的包络，在这些曲线上迭代轨道的 Morse 指数发生跳跃。为了进行分析，我们依赖于由 Y.~Long、X.~Hu 和 S.~Sun 设计并发展的 Maslov 型指数理论；其中适当的指数定理以及对合适 Maslov 型指数的精确计算起到了关键作用。