通过权重不变性得到的子空间的布洛克布型不等式

设 $V$ 为一个 $n$ 维实向量空间，具有直和分解 $V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_r$。设 $\mathcal{P} = \{(A_i, B_i) : i \in [m]\}$ 为 $V$ 中子空间的 skew Bollobás 系统，且每个 $i\in [m]$，都有 $A_i = \bigoplus_{k=1}^r (A_i \cap V_k)$ 且 $B_i = \bigoplus_{k=1}^r (B_i \cap V_k)$。我们证明了以下不等式：$$\sum_{i=1}^{m} \prod_{k=1}^{r} \left[ \binom{a_{i,k} + b_{i,k}}{a_{i,k}} (1 + a_{i,k} + b_{i,k})^{-1} \right] \leq 1,$$ 其中 $a_{i,k} = \dim(A_i \cap V_k)$，$b_{i,k} = \dim(B_i \cap V_k)$。这扩展了 Yue 最近的集合系统结果到有限维子空间。随后我们考虑关于 $d$ 元组的弱 Bollobás 系统的 Tuza 定理。我们给出原集合版本 Tuza 定理的另一种证明，并建立其向量空间类比。准确地说，设 $\mathcal{P} = \{(A_i^{(1)}, \ldots, A_i^{(d)}) : i \in [m]\}$ 为有限维空间 $V$ 中 $d$ 元组子空间的 skew Bollobás 系统，记 $a_i^{(\ell)}=\dim (A_i^{(\ell)})$。则对于满足 $p_1 + \cdots + p_d = 1$ 的任意正实数 $p_1, \ldots, p_d$，我们证明了 $\sum_{i=1}^{m} \prod_{\ell=1}^{d} p_{\ell}^{a_i^{(\ell)}} \leq 1.$