集合与向量空间的 Manickam-Miklós-Singhi 猜想

二十五多年前，Manickam、Miklós 和 Singhi 猜想：对于满足 $n \geq 4k$ 的正整数 $n,k$，任意一个和为非负的 $n$ 个实数构成的集合，至少包含 $\binom{n-1}{k-1}$ 个和也为非负的 $k$ 元子集。我们在 $n \geq 8k^{2}$ 的条件下验证了该猜想，这一结果同时改进并简化了 Alon、Huang 和 Sudakov 给出的界，以及在 $k < 10^{45}$ 时 Pokrovskiy 给出的界。此外，我们的论证解决了该猜想的向量空间类比形式。设 $V$ 为有限域上的 $n$ 维向量空间。为 $V$ 中的每个 $1$ 维子空间赋予一个实值权重，使得所有权重之和为零。定义子空间 $S \subset V$ 的权重为其所包含的所有 $1$ 维子空间的权重之和。我们证明，若 $n \geq 3k$，则 $V$ 中具有非负权重的 $k$ 维子空间的数量，至少等于 $V$ 中包含某个固定 $1$ 维子空间的 $k$ 维子空间的数量。该结果验证了 Manickam 和 Singhi 于 1988 年提出的一个猜想。