星形体 Minkowski 和的体积

对于紧集 $A \subset {\mathbb R}^d$ 和整数 $k\ge 1$，记 $$A[k] = \left\{a_1+\cdots +a_k: a_1, \ldots, a_k\in A\right\}=\sum_{i=1}^k A$$ 为 $A$ 的 $k$ 个副本的 Minkowski 和。Shapley、Folkmann 和 Starr（1969）的定理指出，当 $k$ 趋于无穷时，$\frac{1}{k}A[k]$ 在 Hausdorff 距离下收敛于 $A$ 的凸包。Bobkov、Madiman 和 Wang（2011）猜想 $\frac{1}{k}A[k]$ 的体积关于 $k$ 非减，换言之，就 $A$ 的凸包与 $\frac{1}{k}A[k]$ 之间的体积亏而言，该收敛是单调的。Fradelizi、Madiman、Marsiglietti 和 Zvavitch（2016）证明了该猜想在 $d=1$ 时成立，但在任意 $d \geq 12$ 时不成立。本文中我们证明该猜想对任意星形体 $A \subset {\mathbb R}^d$ 在 $d=2$ 和 $d=3$ 时成立，并且在条件 $k \ge (d-1)(d-2)$ 下对任意维数 $d \ge 4$ 也成立。此外，我们研究了该猜想对连通集的情形，并给出了该猜想向 ${\mathbb R}^d$ 中可能互异集合的 Minkowski 和推广的反例，对任意 $d \geq 7$。