凸多面体 Minkowski 和上限定理的一种几何方法

我们推导了 $\mathbb{R}^d$ 中 $r$ 个凸 $d$-多面体 $P_1,...,P_r$ 的 Minkowski 和 $P_1+...+P_r$ 的 $k$-面（$0\le{}k\le{}d-1$）最大数量的紧表达式，其中 $d\ge{}2$ 且 $r<d$，该表达式是多面体顶点数的（递归定义的）函数。我们的结果与 Adiprasito 和 Sanyal [2] 最近证明的结果一致。与使用了组合交换代数工具的 Adiprasito 和 Sanyal 的方法不同，我们的方法是纯几何的，使用了如 $f$-和 $h$-向量演算以及剥离等基本概念，并推广了 [15] 和 [14] 中分别用于证明两个和三个凸多面体 Minkowski 和的 $f$-向量上界的方法。我们方法背后的关键思想是将 Minkowski 和 $P_1+...+P_r$ 表示为求和项的 Cayley 多面体 $\mathcal{C}$ 的一个截面；界定 $P_1+...+P_r$ 的 $k$-面归结为界定 $\mathcal{C}$ 的 $(k+r-1)$-面中包含来自这 $r$ 个多面体中每一个的顶点之子集。我们在论文结尾给出了一个确立上界紧性的显式构造的概要。