具有光滑正曲率边界的凸体的闭式 Minkowski 和

本文推导了 d 维欧几里得空间中边界光滑且在每一点处所有截面曲率均为正的凸体的 Minkowski 和的闭式参数公式。在这些条件下，每个边界点的位置与表面法线之间存在唯一关系。主要结果以两个定理给出。第一个定理使用每个表面点处的单位法向量直接参数化 Minkowski 和。尽管在数学上表达简单，但此类参数化在计算上并非总是易于求得。因此，第二个定理利用未归一化的梯度推导出一个更实用的参数化闭式表达式。在两个椭球的特例中，所提出的表达式与先前利用几何解释推导出的表达式一致。为检验所得结果，我们对两个超二次曲面体之间的 Minkowski 和进行了数值验证与比较。介绍了所提结果在运动规划问题中生成构型空间障碍物以及改进基于优化的碰撞检测算法方面的应用并进行了演示。