具有 $m$ 个面的多面体面数的下界

设 $P$ 为凸 $d$-多面体且 $0 \leq k \leq d-1$。2023 年，本作者证明了以下不等式，解决了 B\'ar\'any 的一个问题：$$\frac{f_k(P)}{f_0(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose k} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose k}\biggr], \qquad \frac{f_k(P)}{f_{d-1}(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose d-k-1} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose d-k-1}\biggr].$$ 我们证明，对于任何固定的 $d$ 和 $k$，这些是关于 $f_k(P)$ 用 $f_0(P)$ 或 $f_{d-1}(P)$ 表示的最紧致可能线性界。然后，我们给出了用 Grassmann 角和 $\gamma_k^2(P)$ 表示的关于 $f_k(P)$ 的更强界。最后，我们证明了一个将多面体的面数与其面在余维数 2 的固定正交投影下的行为联系起来的恒等式。