关于单调上界问题
度量几何
2007-05-23 v1 组合数学
摘要
单调上界问题询问具有 n 个面的简单 d-多面体上严格递增边路径顶点数的最大值 M(d,n)。更具体地,它询问由 McMullen (1970) 上界定理给出的上界 M(d,n)<=M_{ubt}(d,n) 是否紧,其中 M_{ubt}(d,n) 为具有 n 个面的对偶循环 d-多面体的顶点数。最近已证该上界 M(d,n)<=M_{ubt}(d,n) 在小维数 (d<=4: Pfeifle, 2003) 与小余秩 (n<=d+2: Gärtner 等, 2001) 时取等。此处我们证明它一般而言不紧:在维数 d=6 时,具有 n=9 个面的多面体可有 M_{ubt}(6,9)=30 个顶点,但严格递增边路径上至多能有 26 <= M(6,9) <= 29 个顶点。证明涉及邻接多面体的分类结果、Kalai (1988) 的抽象目标函数概念、Holt-Klee 条件 (1998)、显式枚举、Welzl (2001) 的扩充 Gale 图、实例的随机生成,以及经由 Farkas 引理某版本的不可实现性证明。
引用
@article{arxiv.math/0308186,
title = {On the Monotone Upper Bound Problem},
author = {Julian Pfeifle and Günter M. Ziegler},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0308186},
year = {2007}
}
备注
15 pages; 6 figures