凸多面体直径的更多界
组合数学
2009-11-30 v1 度量几何
摘要
寻找多面体最大边直径\Delta(d,n)关于其维数d和面数n的良好上界是多面体理论中的基本开放问题之一\cite{BG}。尽管已知一些界，但函数\Delta(d,n)的行为在很大程度上是未知的。Hirsch猜想于1957年提出，并在\cite{GD}中报道，它指出\Delta(d,n)关于n和d是线性的：\Delta(d,n) \leq n-d。已知该猜想在低维（即d \leq 3）\cite{VK}以及其他特定的d和n对（表\ref{before}）中成立。然而，\Delta(d,n)的渐近行为尚未被很好地理解：最佳上界——归功于Kalai和Kleitman——是拟多项式\cite{GKDK}。在本文中，我们将证明\Delta(4,12)=7，并为\Delta(5,12)=\Delta(6,13)=7提供强有力的证据。这些新值中的第一个特别有意义，因为它表明Hirsch界在维度4中不是紧的。
引用
@article{arxiv.0911.4982,
title = {More bounds on the diameters of convex polytopes},
author = {David Bremner and Antoine Deza and William Hua and Lars Schewe},
journal= {arXiv preprint arXiv:0911.4982},
year = {2009}
}