多联骨牌与多联立方体生长常数上界的改进

一个 d 维多联立方体是 d 维立方格点 Z^d 上由面连接的一组胞腔（立方体）。令 A_d(n) 表示具有 n 个立方体的 d 维多联立方体的数目（平移等价视为相同），并令 λ_d 表示当 n → ∞ 时比值 A_d(n+1)/A_d(n) 的极限。对于任何维度 d ≥ 2，λ_d 的精确值至今仍严格未知；λ_d 在 d → ∞ 时的渐近行为至今也仍未明确。本文重新审视并扩展了 Klarner 与 Rivest 于 1973 年提出的从上方界定 A_2(n) 的方法。我们的贡献如下：利用可用的计算能力，我们证明了 λ_2 ≤ 4.5252。这是近半个世纪以来对 λ_2 上界的首次改进；通过构造一个支配序列 (A_d(n)) 的有理生成函数的新方法，我们证明了对于任意 d ≥ 2，有 λ_d ≤ (2d-2)e+o(1)；对于 d=3，这将 λ_3 的上界从 12.2071 大幅改进至 9.8073；此外，我们在三维情形下实现了一个迭代过程，将 λ_3 的上界进一步改进至 9.3835。