顶点数至多 $2d+1$ 的强正则 CW 球面的下界定理

1967 年，Grünbaum 猜想任意具有 $d+s\leq 2d$ 个顶点的 $d$ 维多胞体至少有 $$\phi_k(d+s,d) = {d+1 \choose k+1 }+{d \choose k+1 }-{d+1-s \choose k+1 }$$ 个 $k$ 面。该猜想及等号情形的刻画最近由作者证明。本文建立了该结果的若干推广。具体而言，证明了具有 diamond 性质（例如抽象多胞体）且原子数为 $d+s\leq 2d$ 的格至少有 $\phi_k(d+s,d)$ 个秩为 $k+1$ 的元素。此外，对于表示具有至多 $2d$ 个顶点的正规伪流形的强正则 CW 复形的面格，给出了等号情形的刻画。最后，获得了表示具有 $2d+1$ 个顶点的正规伪流形的强正则 CW 复形的 $k$ 面数的紧下界。这些下界由具有 $2d+1$ 个顶点的某些多胞体的面数给出。