突破实数域上3查询局部可纠错码的二次方障碍

我们证明了，维度为 $d$ 的实数域上3查询线性局部可纠错码需要块长度 $n>d^{2+\lambda}$，其中 $\lambda >0$ 为某个固定的正数。从几何角度看，这意味着如果 $R^d$ 中的 $n$ 个向量满足每个向量都由线性数量个不相交的其他向量三元组张成，那么必然有 $n > d^{2+\lambda}$。这改进了已知的二次方下界（例如 {KdW04, Wood07}）。虽然改进幅度不大，但我们期望本工作中引入的新技术将有助于在超过2次查询的局部可纠错码和可解码码的下界方面取得进一步进展，也可能适用于其他域。我们的证明为现有下界技术引入了若干新思想，其中一些适用于所有域。在较高层面上，我们的证明包含两个部分：{\it 聚类} 和 {\it 随机限制}。聚类步骤使用了凸几何中Barthe的一个强大定理。它可以（在对我们的LCC进行预处理使其成为{\it 平衡的}之后）用于对向量进行基变换（和重标度），使得得到的单位向量变得{\it 近乎各向同性}。这一点，加上任何LCC都必须有许多“相关”点对这一事实，使我们能够推断出这些向量必然具有令人惊讶的强几何聚类，从而在张成三元组方面也具有组合聚类。在限制步骤中，我们设计了一种新的降维技术变体，用于以往的下界证明，它能够利用上述的组合聚类结构。对我们的随机投影方法的分析归结为一个简单的（弱）随机图过程，并且适用于任何域。