曲线上有界高度点及维数增长猜想在 $\mathbb{F}_q[t]$ 上的情形

在本文中，我们证明了关于 $\mathbb{F}_q[t]$ 上簇的有界高度点个数的若干新的均匀上界。对于射影曲线，我们证明了 Walsh 结果的类比，其中对 $q$ 和曲线的次数 $d$ 具有多项式依赖。对于仿射曲线，这改进了 Sedunova 以及 Cluckers、Forey 和 Loeser 的界。在更高维情形，我们基于 Castryck、Cluckers、Dittmann 和 Nguyen 在特征零中的工作，证明了次数 $d\geq 64$ 的超曲面上的维数增长的一个版本。这些界对 $q$ 和 $d$ 具有多项式依赖，正是这种依赖简化了维数增长猜想的处理。